By Welleda Maria Baldoni, Ciro Ciliberto, Giulia Maria Piacentini Cattaneo (auth.)

ISBN-10: 8847004551

ISBN-13: 9788847004559

ISBN-10: 884700456X

ISBN-13: 9788847004566

Si sviluppano le tecniche di base di algebra e di teoria dei numeri utili in recenti applicazioni alla crittografia e ai codici, con l’intento di essere elementari e autosufficienti. Viene posto l’accento su problemi di natura computazionale. Questa parte del quantity può essere utile quale libro di testo consistent with un primo corso di algebra according to matematici, informatici o ignegneri. Vengono poi illustrate importanti applicazioni dell’algebra e della geometria alla crittografia e ai codici. Entrambi, crittografia e codici hanno notevoli applicazioni nella vita quotidiana che vengono qui illustrate. los angeles crittografia è sviluppata in dettaglio in gran parte dei suoi aspetti classici e attuali, e viene sviluppata sia l. a. crittografia a chiave privata che quella a chiave pubblica. Viene anche illustrata l. a. crittografia con l’uso di curve ellittiche sui campi finiti. Ai codici lineari è dedicato un capitolo di introduzione all’argomento. Questa parte del libro può essere utile in step with un corso della laurea triennale o specialistica according to matematici, fisici, informatici o ingegneri. Il libro è ricco di complementi ed esercizi, in buona parte svolti. Vengono point out le parti e gli esercizi di maggiore o minore difficolt� .

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1, 0, . . , 0)β h m e quest’ultima `e detta frazione generatrice di a. 5 Frazioni continue 107 + 43 45510 − 455 45055 = 107 + . 99000 99000 Quanto alla dimostrazione della proposizione, essa viene posposta al Capitolo 4 (cfr. 3), dove si daranno ulteriori informazioni sulla struttura del periodo di un numero razionale in una data base. 5 Frazioni continue Un’applicazione molto significativa dell’algoritmo euclideo `e data dalle cosiddette frazioni continue. Esse forniscono, in sostanza, anche un modo alternativo di rappresentare i numeri reali.

Quindi deve essere q1 (x) = q2 (x) il che implica anche r2 (x) = r1 (x). Veniamo all’esistenza dell’algoritmo della divisione. Se f (x) = 0 non vi `e nulla da provare. Sia dunque f (x) = 0 e siano n, m i gradi di f (x) e g(x) rispettivamente. Se m > n basta prendere q(x) = 0 e r(x) = f (x). Supponiamo allora n ≥ m. Poich´e il teorema `e banalmente vero se n = 0, procediamo per induzione su n. Se f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , poniamo g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , an n−m x g(x). bm Il grado di h(x) `e minore di n e pertanto a h(x) possiamo applicare l’ipotesi di induzione.

Viceversa, un qualunque numero razionale si pu` o scrivere come frazione continua semplice finita. Dimostrazione. La prima parte `e ovvia. Sia ora a/b il numero razionale, b > 0. Applichiamo l’algoritmo di Euclide per trovare il M CD tra a e b: a = ba1 + r1 , b = r1 a2 + r2 , 0 < r1 < b, 0 < r2 < r1 , r1 = r2 a3 + r3 , .. 0 < r3 < r2 , ri = ri+1 ai+2 + ri+2 , .. rn−3 = rn−2 an−1 + rn−1 , rn−2 = rn−1 an + rn , rn−1 = rn an+1 + 0. 0 < ri+2 < ri+1 , 0 < rn−1 < rn−2 , 0 < rn < rn−1 , 46 1 Qualche richiamo sui numeri Dato che i resti sono tutti positivi, anche tutti i quozienti ai , ad eccezione eventualmente del primo, saranno positivi.

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Aritmetica, crittografia e codici by Welleda Maria Baldoni, Ciro Ciliberto, Giulia Maria Piacentini Cattaneo (auth.)


by James
4.0

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