By Percus J.K.

ISBN-10: 0387900276

ISBN-13: 9780387900278

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On pensera à l’exemple d’une fonction de classe C ∞ à support compact, que l’on translate à l’infini dans l’espace. On reviendra longuement sur cet exemple dans les chapitres ultérieurs. 4ème commentaire : Il est utile de remarquer que l’injection dans L6 (Ω) n’est pas compacte. Un exemple d’une suite bornée dans H01 (Ω), convergente forte dans tous les Lp (Ω), 1 ≤ p < 6, et ne convergeant pas fortement dans L6 (Ω), est fourni par la construction suivante. On prend pour Ω la boule unité centrée à l’origine de IR3 , et on définit la fonction f , radiale, affine en r ∈ [0, 1], nulle sur la sphère de rayon 1, et valant 1 à l’origine (c’est un cône renversé).

Nous souhaitons montrer que notre modèle permet de décrire correctement l’état fondamental d’un atome. 2). Une première étape dans cette étude est de se poser la question : Que peut-on dire d’une suite de u convenables dont l’énergie approcherait IλΩ ? 2) la notion suivante. 16) ⎪ ⎪ 2 ⎩ |un | = λ, ∀n ∈ IN. Ω La première remarque à faire est qu’il existe toujours au moins une suite minimisante (dès qu’on minimise sur un ensemble non vide). En effet, par définition d’une borne inférieure, il existe pour tout n ∈ IN au moins une fonction un dans l’ensemble de minimisation telle que E Ω (un ) ≤ IλΩ + 2−n , et la suite (un )n∈IN est alors clairement une suite minimisante.

Comme elle est bornée dans H01 (Ω), on peut supposer, quitte à extraire, qu’elle converge faiblement vers u ∈ H01 (Ω). Voici donc notre objet particulier créé, cette fonction u. u2 ? La question naturelle à se poser à son sujet est : que valent E Ω (u) et Ω Ceci revient à s’interroger sur ce qu’on peut dire de la quantité f (u) quand u est la limite faible d’une suite (un )n∈IN et f une fonction à valeurs réelles. Si la fonction f était continue sur l’espace fonctionnel muni de sa norme naturelle et si la suite convergeait fortement, on aurait bien sûr f (u) = lim f (un ).

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Combinatorial methods by Percus J.K.


by Mark
4.4

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