By Klaus D. Schmidt

ISBN-10: 3540897291

ISBN-13: 9783540897293

ISBN-10: 3540897305

ISBN-13: 9783540897309

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat durch vielfältige neue Anwendungen in der Wirtschaft auch in der Lehre deutlich an Bedeutung gewonnen. Sie beruht auf der Maß- und Integrationstheorie, die gleichzeitig eine der Grundlagen der Funktionalanalysis bildet.

Dieses Buch bietet eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie im Spannungsfeld zwischen ihren theoretischen Grundlagen und ihren Anwendungen. Dabei wird die systematische Darstellung der klassischen Themen der Wahrscheinlichkeitstheorie durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzt, die Ansatzpunkte für eine Vertiefung der Theorie und für Anwendungen beispielsweise in der Statistik und in der Versicherungsmathematik darstellen.

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2 Lemma. Sei C ⊆ 2Ω ein Ring und sei μ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind ¨aquivalent: (a) μ ist additiv. (b) μ ist endlich additiv. Beweis. ,n} ⊆ C n n Ai = μ i=1 μ[Ai ] i=1 gilt. • n = 1: In diesem Fall ist nichts zu zeigen. ,n+1} ⊆ C. 1 Inhalte 45 n = μ[Ai ] + μ[An+1 ] i=1 n+1 = μ[Ai ] i=1 Daher folgt (b) aus (a). Die umgekehrte Implikation ist klar. 3 Beispiel. Sei Ω := {1, 2, 3} und C := {∅, {1}, {2}, {3}, Ω}. Dann ist C ein Halbring, aber kein Ring, und die Mengenfunktion μ : C → [0, ∞] mit 8 < 0 falls A = ∅ ur ein ω ∈ Ω μ[A] := 1 falls A = {ω} f¨ : 4 falls A = Ω ist additiv, aber nicht endlich additiv.

N} eine endliche disjunkte Familie in C mit k=1 Ak = n at und der Monotonie von μ ergibt k=1 Bk und aus der endlichen Additivit¨ sich nun n n n Ak = μ μ k=1 k=1 n μ[Bk ] ≤ Bk = k=1 μ[Ak ] k=1 ✷ Daher ist μ endlich subadditiv. Eine Mengenfunktion μ : C → [0, ∞] heißt endlich, wenn f¨ ur alle A ∈ C μ[A] < ∞ gilt. Eine endliche Mengenfunktion ist genau dann ein Inhalt, wenn sie endlich additiv ist. A Sei C ∪–stabil und sei μ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind aquivalent: ¨ (a) μ ist additiv.

Dann ist die Mengenfunktion μ : C → [0, ∞] mit μ[A] := ∞ X an μn [A] n=1 ein Maß. 3 Signierte Maße 57 (i) ν nimmt h¨ ochstens einen der Werte −∞ und +∞ an. (ii) Es gilt ν[∅] = 0. ∞ (iii) f¨ ur jede disjunkte Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit k=1 Ak ∈ C gilt ∞ ν ∞ Ak = ν[Ak ] k=1 k=1 Die letzte Bedingung ist so zu verstehen, dass f¨ ur jede disjunkte Folge ∞ ¯ unbedingt konvergent ist und dass {Ak }k∈N ⊆ C die Reihe k=1 ν[Ak ] in R ∞ ihr Grenzwert gleich ν k=1 Ak ist. Jedes Maß ist ein signiertes Maß, aber nicht jedes signierte Maß ist ein Maß.

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Maß und Wahrscheinlichkeit by Klaus D. Schmidt


by Brian
4.3

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