By Sossio Giametta

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Questo libro è dedicato essenzialmente agli studenti che preparano l'esame scritto di un corso di Meccanica Quantistica. Di riflesso questa raccolta può risultare molto utile anche ai docenti che devono proporre problemi ai loro studenti sia a lezione che in line with gli esami. Si imagine che i contenuti del corso siano sostanzialmente identici a quelli di un tradizionale corso di Istituzioni di Fisica Teorica dei vecchi ordinamenti del corso di laurea in Fisica.

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Il percorso seguito da un punto della circonferenza `e detto cicloide. Considerando il moto di un punto P che parte dall’origine fino all’istante in cui esso torna sull’asse x, si ricava una curva regolare σ: [0, 2π] → R2 , definita da σ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), il cui sostegno `e la cicloide. Determina la lunghezza della curva σ. 18. Sia σ: [a, b] → R3 la solita parametrizzazione σ(t) = t, f (t) del grafico di una funzione f : [a, b] → R di classe C 1 . Dimostra che la lunghezza di σ b `e a 1 + |f ′ (t)|2 dt.

Ma allora s s σ(s) = σ(s0 ) + s0 e σ1 ≡ σ. σ˙ 1 (t) dt = σ1 (s) , σ(t) ˙ dt = σ1 (s0 ) + s0 ⊓ ⊔ Quindi curvatura e torsione sono tutto ci` o che serve per descrivere completamente una curva nello spazio. 38. 48) si dimostra il seguente risultato: Data una funzione κ ˜ : I → R di classe C k , ∗ con k ∈ N ∪ {∞}, esiste un’unica (a meno di movimenti rigidi del piano) curva σ: I → R2 di classe C k+2 regolare parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco con curvatura orientata κ ˜. 39. A causa di questo teorema, curvatura e torsione vengono talvolta chiamate equazioni intrinseche o naturali della curva.

Dimostra che σε `e sempre una curva regolare, e che il versore normale di σε `e sempre ortogonale al versore normale di σ se la curvatura κ di σ `e della forma κ(s) = c(e2s/ε − c2 ε2 )−1/2 per una qualche costante 0 < c < 1/ε. 54. Sia σ: I → R3 una curva biregolare parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco con curvatura costante κ0 > 0. Dimostra che il sostegno di σ `e contenuto in una sfera di raggio R > 0 se e solo se κ0 > 1/R e τ ≡ 0. 55. Siano σ: I → R3 e α: I → R3 due curve biregolari distinte parametrizzate rispetto alla lunghezza d’arco, aventi retta binormale coincidente nei punti corrispondenti allo stesso parametro.

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Nietzsche e i suoi interpreti. Oltre il nichilismo by Sossio Giametta


by Ronald
4.3

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